离散型概率分布

均匀概率函数

$$
f(x) = 1 / n
$$

数学期望

$$
E(x) = \mu = \sum {xf(x)}
$$

数学期望是随机变量取值的加权平均，其中的权重是概率。

方差/标准差

$$
Var(x) = \mu^2 = \sum {(x - \mu)^2 f(x)}
$$

二元概率分布的协方差

$$
\sigma_{xy} = [Var(x+y) - Var(x) - Var(y)] / 2
$$

当 $Var(x+y)$ 未知时，

$$
\sigma_{xy} = \sum {[x_i - E(x_i)] [y_i - E(y_i)] f[(x_i, y_i)]}
$$

随机变量 $x$ 和 $y$ 的线性组合的数学期望

$$
E(ax + by) = aE(x) + bE(y)
$$

两个随机变量的线性组合的方差

$$
Var(ax + by) = a^2 Var(x) + b^2 Var(y) + 2ab \sigma_{xy}
$$

二项试验的性质

1. 试验由一系列相同的 $n$ 个试验组成。
2. 每次试验由两种可能的结果。我们把其中一个称为成功，另一个称为失败。
3. 每次试验成功的概率都是相同的，用 $p$ 来表示；失败的概率也都相同，用 $1-p$ 来表示。
4. 试验是相互独立的。

如果一个试验具有性质2、3、4，我们称该试验是由伯努利过程产生。

二项试验中 $n$ 次试验中恰有 $x$ 次成功的试验结果的个数

$$
\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}
$$

二项概率函数

$$
f(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{(n-x)}
$$

二项分布的数学期望和方差

泊松分布

1. 在任意两个相等长度的区间上，事件发生的概率相等。
2. 事件在某一区间上是否发生与事件在其他区间上是否发生是独立的。

泊松概率函数

$$
f(x) = \frac {\mu^x e^{-\mu}} {x!}
$$

$f(x)$ 为事件在一个区间发生 $x$ 的概率；$\mu$ 为事件在一个区间发生次数的数学期望或均值；$e = 2.71828$

超几何概率分布

1. 各次试验是不独立的。
2. 各次试验中成功的概率不相等。

超几何概率函数

$$
f(x) = \dfrac {\binom{r}{x} \binom{N-r}{n-x}} {\binom{N}{n}}
$$

1. $N$ 为总体个数。
2. $r$ 为总体中具有成功标志的元素的个数。
3. $n$ 为试验次数。
4. $x$ 为成功的次数。
5. $f(x)$ 为 $n$ 次试验中 $x$ 次成功的概率。

超几何分布的均值和方差

当总体容量足够大时，超几何分布可以用试验次数为 $n$，成功概率 $p=r/N$ 的二项分布近似。