离散型概率分布

均匀概率函数

f(x)=1/n

数学期望

E(x)=μ=xf(x)

数学期望是随机变量取值的加权平均,其中的权重是概率。

方差/标准差

Var(x)=μ2=(xμ)2f(x)

二元概率分布的协方差

σxy=[Var(x+y)Var(x)Var(y)]/2

Var(x+y) 未知时,

σxy=[xiE(xi)][yiE(yi)]f[(xi,yi)]

随机变量 xy 的线性组合的数学期望

E(ax+by)=aE(x)+bE(y)

两个随机变量的线性组合的方差

Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2abσxy

二项试验的性质

  1. 试验由一系列相同的 n 个试验组成。
  2. 每次试验由两种可能的结果。我们把其中一个称为成功,另一个称为失败。
  3. 每次试验成功的概率都是相同的,用 p 来表示;失败的概率也都相同,用 1p 来表示。
  4. 试验是相互独立的。

如果一个试验具有性质2、3、4,我们称该试验是由伯努利过程产生。

二项试验中 n 次试验中恰有 x 次成功的试验结果的个数

(nx)=n!x!(nx)!

二项概率函数

f(x)=(nx)px(1p)(nx)

二项分布的数学期望和方差

E(x)=μ=npVar(x)=σ2=np(1p)

泊松分布

  1. 在任意两个相等长度的区间上,事件发生的概率相等。
  2. 事件在某一区间上是否发生与事件在其他区间上是否发生是独立的。

泊松概率函数

f(x)=μxeμx!

f(x) 为事件在一个区间发生 x 的概率;μ 为事件在一个区间发生次数的数学期望或均值;e=2.71828

超几何概率分布

  1. 各次试验是不独立的。
  2. 各次试验中成功的概率不相等。

超几何概率函数

f(x)=(rx)(Nrnx)(Nn)

  1. N 为总体个数。
  2. r 为总体中具有成功标志的元素的个数。
  3. n 为试验次数。
  4. x 为成功的次数。
  5. f(x)n 次试验中 x 次成功的概率。

超几何分布的均值和方差

E(X)=μ=n(rN)Var(x)=σ2=n(rN)(1rN)(NnN1)

当总体容量足够大时,超几何分布可以用试验次数为 n,成功概率 p=r/N 的二项分布近似。

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