离散型概率分布
均匀概率函数
f(x)=1/n
数学期望
E(x)=μ=∑xf(x)
数学期望是随机变量取值的加权平均,其中的权重是概率。
方差/标准差
Var(x)=μ2=∑(x−μ)2f(x)
二元概率分布的协方差
σxy=[Var(x+y)−Var(x)−Var(y)]/2
当 Var(x+y) 未知时,
σxy=∑[xi−E(xi)][yi−E(yi)]f[(xi,yi)]
随机变量 x 和 y 的线性组合的数学期望
E(ax+by)=aE(x)+bE(y)
两个随机变量的线性组合的方差
Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2abσxy
二项试验的性质
- 试验由一系列相同的 n 个试验组成。
- 每次试验由两种可能的结果。我们把其中一个称为成功,另一个称为失败。
- 每次试验成功的概率都是相同的,用 p 来表示;失败的概率也都相同,用 1−p 来表示。
- 试验是相互独立的。
如果一个试验具有性质2、3、4,我们称该试验是由伯努利过程产生。
二项试验中 n 次试验中恰有 x 次成功的试验结果的个数
(nx)=n!x!(n−x)!
二项概率函数
f(x)=(nx)px(1−p)(n−x)
二项分布的数学期望和方差
E(x)=μ=npVar(x)=σ2=np(1−p)
泊松分布
- 在任意两个相等长度的区间上,事件发生的概率相等。
- 事件在某一区间上是否发生与事件在其他区间上是否发生是独立的。
泊松概率函数
f(x)=μxe−μx!
f(x) 为事件在一个区间发生 x 的概率;μ 为事件在一个区间发生次数的数学期望或均值;e=2.71828
超几何概率分布
- 各次试验是不独立的。
- 各次试验中成功的概率不相等。
超几何概率函数
f(x)=(rx)(N−rn−x)(Nn)
- N 为总体个数。
- r 为总体中具有成功标志的元素的个数。
- n 为试验次数。
- x 为成功的次数。
- f(x) 为 n 次试验中 x 次成功的概率。
超几何分布的均值和方差
E(X)=μ=n(rN)Var(x)=σ2=n(rN)(1−rN)(N−nN−1)
当总体容量足够大时,超几何分布可以用试验次数为 n,成功概率 p=r/N 的二项分布近似。