Dive into Deep

$$
\sigma^2 = \frac{\sum{(x_i - \mu)^2}}{N}
$$

$$
s^2 = \frac{\sum{(x_i - \overline{x})^2}}{n - 1}
$$

可以证明，如果样本方差的离差平方和除以 $n-1$，而不是 $n$ 时，所得到的样本方差是总体方差的无偏估计。

$$\begin{aligned} \sigma & = \sqrt{\sigma^2} \\ s & = \sqrt{s^2} \end{aligned}$$

$$
(\frac{标准差}{平均数} \times 100) \%
$$

$$
偏度 = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum{(\frac{x_i - \overline{x}}{s})^3}
$$

当数据的偏度是正值时，通常平均数比中位数大；当数据的偏度是负值时，通常平均数比中位数小。

$$
z_i = \frac{x_i - \overline{x}}{s}
$$

与平均数的距离在 $z$ 个标准差之内的数据项所占比例至少为 $(1 - 1/z^2)$，其中 $z$ 是大于 1 的任意实数（不一定是整数）。

对于具有钟形分布的数据：

$$
\sigma_{xy} = \frac {\sum{(x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)}} {N}
$$

$$
s_{xy} = \frac {\sum{(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}} {n - 1}
$$

$$\begin{aligned} \rho_{xy} & = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} \\ r_{xy} & = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} \end{aligned}$$